Les rationnels qui sont des décimaux

Propriété (admise)

Soit \(p\in \mathbb{Z}\) et \(q\in \mathbb{Z^*}\).
Le nombre \(\dfrac{p}{q}\) est un nombre décimal si et seulement si \(q\) est de la forme \(2^n\times 5^m\), où \(n\) et \(m\) sont des entiers naturels.

Exemples

•  \(\dfrac{7}{72}=\dfrac{7}{2^3\times 3^2}\) n'est pas un nombre décimal puisque le dénominateur ne s'écrit pas sous la forme d'un produit d'une puissance de \(2\) par une puissance de \(5\).
  
• \(\dfrac{7}{40}=\dfrac{7}{2^3\times 5}\) est un nombre décimal puis le dénominateur est de la forme \(2^3\times 5^1\).
  

Exercice

1. Montrer que les nombres suivants sont des nombres décimaux.
\(\qquad A=\dfrac{-3}{20} \qquad B=\dfrac{3}{240} \qquad C=\dfrac{7}{280} \qquad D=\dfrac{-9}{180}\)

2. Les nombres suivants sont-ils des nombres décimaux ?
\(\qquad A=\dfrac{5}{7} \qquad B=\dfrac{-3}{120} \qquad C=\dfrac{2}{9} \qquad D=\dfrac{9}{72}\)